Sæbehinders og sæbeboblers former

En af de fascinerende ting ved sæbeboblefigurer er at en figur af sæbehinder altid prøver at få så lille en overflade som mulig. For eksempel er en frit svævende boble altid rund og en sæbehinde i et fladt sæbeboblejern er altid flad. I begge tilfælde har sæbehinden den mindst mulige overflade.

 Sæbehinders og bobler former17

Fritsvævende sæbebobler er altid runde fordi sæbeboblen minimerer sit overfladeareal.

pic19

I et fladt sæbeboblejern, er sæbehinden altid flad fordi sæbehinden minimerer sit overfladeareal.

At en fritsvævende boble er rund og at en sæbehinde i et fladt sæbeboblejern er flad, er sandt i den matematiske verden. I vores fysiske verden spiller tyngdekraften en vigtig rolle i forhold til de former og farver vi ser i sæbeboblefigurerne. I dette afsnit tager vi udgangspunkt i matematikkens ideelle verden.

Matematisk kalder man figurer der minimerer deres overflade for minimalkonstruktioner. En minimalkonstruktion er kendetegnet ved at det er den konstruktion der har den mindst mulige overflade ud fra nogle givne betingelser. Betingelserne kan for eksempel være den ramme sæbehinden er spændt ud af eller den mængde luft der er indespærret i boblerne. Tyngdekraften er også at betragte som en sådan betingelse. Disse betingelser er faktorer som en boble ikke kan ændre på og derfor bliver nødt til at indordne sig under, hvorimod sæbehindens form ikke er en sådan på forhånd givet betingelse.

Hvis en sæbehinde ikke indeholder nogen bobler, så kaldes den for en minimalflade. Sådan en hinde er kendetegnet ved at den i ethvert punkt på fladen har en krumning på nul. Det vil sige at der for ethvert punkt på fladen gælder at hvis den i én retning buer op set i forhold til tangentplanet i dette punkt, så buer fladen tilsvarende ned i den tværgående retning.

Hvis man fanger luft inde i hinden og altså laver en boble, så er hinden som nævnt ikke længere en minimalflade. Hinden skal nu omslutte et lukket volumen og har derfor en total krumning der er større end nul. Sæbehinderne vil dog stadig være minimale i den forstand at de vil udgøre den mindste overflade som kan omslutte det givne volumen af luft. Man kan derfor lidt løsere kalde alle typer af sæbebobler og sæbehinder for minimalkonstruktioner. Vi skelner altså mellem minimalflader (uden bobler) og de mere generelle minimalkonstruktioner (med eller uden bobler).

Minimalflader og minimalkonstruktioner kan have utrolig flotte former. En måde at studere nogle af disse former på er at tage et ikke fladt sæbeboblejern, dyppe det i sæbevand og betragte de fremkomne former. Benyt for eksempel et kubeformet sæbeboblejern og spræng enkelte dele af sæbehinden i forskellig rækkefølge eller tilføj bobler passende steder. Undervejs kan man observere hvad der sker med den samlede sæbehinde.

Sæbehinder og boblers former12Sæbehinder og boblers former13Sæbehinder og boblers former15

 Minimalflader i kubeformet sæbeboblejern. Fra oven og ned: Sadelpunkt, sadelpunkt i diagonalsnittet, flad diagonalflade.
Sæbehinder og boblers former14
Sæbehinder og boblers former16

Minimalkonstructioner i kubeformet sæbebobblejern. Øverst: “Øjet”. Neders: En kompleks struktur.

En anden flot minimalflade er en katenoide. Den dannes ved at lave et ”rør” mellem to runde sæbeboblejern. På kantenoiden kan man rigtigt se hvad der menes med at hvis hinden i én retning buer op set i forhold til tangentplanen i et punkt, så buer den tilsvarende ned i den tværgående retning.

DSC_1503


DSC_1540

En matematiske figur ”katenoiden” lavet af en sæbehinde. Katenoiden er en minimalflade. Dens samlede krumning i hvert punkt på overfladen er nul.

 Matematisk kan en katenoide frembringes ved at rotere en kurve for cosinushyperbolsk omkring en passende linie. Katenoiden er sammen med planet de to eneste omdrejningslegemer der også er minimalflader.

former6

En katenoide (til højre) kan laves ved at rotere en kurve for funktionen cosh(x) (til venstre) omkring en linie
 Sæbehinder og boblers former8Sæbehinder og boblers former10
Man kan ”bygge med bobler” ved at bruge to små sæbeboblejern (øverst) eller ved at bruge et sæbeboblejern og et sugerør (nederst). På den måde kan man lave mange flotte minimalkonstruktioner.

Man behøver ikke et kubeformet sæbeboblejern for at lave minimalkonstruktioner. Flotte minimalkonstruktioner kan opnås ved at ”bygge med bobler”. Med lidt øvelse kan flere af de såkaldte platoniske legemer frembringes: Et tetraeder, et heksaeder (terning) og for de rigtig skrappe et dodekaeder. Se en film  af kuben her, eller se en film med mange bobleformer her. Bemærk dog at figurerne ikke bliver matematisk perfekte. Dette skyldes at overfladerne krummer på grund af lufttrykket i boblerne.

 Sæbehinder og boblers former11

Kube bygget ud af sæbebobler. Kuben er hvid fordi vi har pustet røg i den for at gøre den mere tydelig.

 Sæbehinder og boblers former9

 Dodekaeder bygget ud af sæbebobler.

Sæbehinders og boblers former2 Sæbehinders og boblers former3 Sæbehinders og boblers former5 Sæbehinders og boblers former6 Sæbehinders og boblers former4

 

 

 

De platoniske legemer, som er kendetegnet ved at bestå af ens regulære polygoner så samme antal sider mødes i hvert hjørne. Fra venstre: Tetraeder, kube, oktaeder, dodekaeder og isokaeder.

Sæbehinder og boblers former7

En lille karrusel bygget ud af sæbebobler inde i en sæbeboble. Se en film af en karrussel her eller af den dobbelt-karrussel her.